ARC. ELEMENTE ELASTICE (ARCURI)

ARC-T. CONSTRUCŢIA ŞI MODELAREA ELEMENTELOR ELASTICE (ARCURILOR)

 

CUPRINS

ARC-T.1  DEFINIRE

ARC-T.2  STRUCTURA CONSTRUCTIVĂ

ARC-T.3  FUNCŢII ŞI DOMENII DE UTILIZARE

ARC-T.4  CLASIFICARE

ARC-T.5  MATERIALE ŞI TEHNOLOGII

ARC-T.6  FORME ŞI CAUZE DE SCOATERE DIN UZ SAU DE COMPORTARE NECORESPUNZĂTOARE

ARC-T.7  PARAMETRI FUNCŢIONALI ŞI CONSTRUCTIVI

ARC-T.8  MODELE DE CALCUL

ARC-T.8.1 Modele de calcul a arcurilor elicoidale cilindrice de compresiune/ tracţiune

ARC-T.8.2 Modele de calcul a arcurilor elicoidale cilindrice de torsiune 

ARC-T.8.3 Modele de calcul a arcurilor lamelare şi în foi

ARC-T.8.4 Modele de calcul a arcurilor bară de torsiune

ARC-T.8.5 Modele de calcul a arcurilor din cauciuc

 

ARC-T.8.2 Modele de calcul a arcurilor elicoidale cilindrice de torsiune 

 

Tab. ARC-T.8.2.1 Parametrii de calcul a arcurilor elicoidale cilindrice de torsiune 

 

Fig. ARC-T.8.2.1 Parametrii arcului elicoidal cilindric de torsiune

Parametrii geometrici:

d – diametrul spirei (sârmei);

Dm – diametrul mediu;

t - pasul elicei;

α - unghiul elicei (uzual, α = 6…9o).

Parametrii constructivi:

, indicele arcului;

n – numărul spirelor active (care se deformează);

R – raza (lungimea) braţului de acţiune a sarcinii.

Parametrii funcţionali:

F1(Mt1), φ1 – forţa (momentul de torsiune) de montaj, respectiv săgeata arcului la montaj;

Fn(Mtn), φn – forţa (momentul de torsiune) maximă, respectiv săgeata maximă de lucru; φf  – cursa arcului (φf = φn – φ1)

 

Tab. ARC-T.8.2.2 Modele de calcul a arcurilor elicoidale de torsiune

Model de calcul a eforturilor şi tensiunilor

      

                   

  a                                                     b

 

Fig. ARC-T.8.2.2 Model de calcul de rezistenţă: a – încărcarea arcului; b – eforturi în spira arcului 

Eforturi şi solicitări în spira arcului

Efortul

Relaţia de calcul

Solicitarea

Momentul de încovoiere

                 (ARC-T.8.2.1)

Încovoiere

Momentul de torsiune interior

                 (ARC-T.8.2.2)

Torsiune

Forţa tăietoare

                     (ARC-T.8.2.3)

Forfecare

Ipoteze simplificatoare: tensiunea de forfecare se neglijează; cota x este redusă şi, deci, se neglijează torsiunea; solicitarea principală este încovoierea cu maximul la exteriorul spirei.

Tensiunea de încovoiere, conform modelului  încovoierii unei bare drepte, este

  =   =  =   .                                                 (ARC-T.8.2.5)

 

 

Deoarece spira arcului este o bară curbă în spaţiu, tensiunea de încovoiere este neuniformă şi, ca urmare a corectării modelului încovoierii unei bare drepte, are maximul

 = =  =   ,                                     (ARC-T.8.2.6)

 

în zona exterioară a spirei; Kî = (4i-1)/(4i-4) este factorul de concentrare a tensiunilor de încovoiere maxime la exteriorul spirei (i=Dm/d) [Gafiţanu, 1999]

Model de calcul a deplasării (săgeţii), rigidităţii şi lucrului mecanic

   

Ipoteze simplificatoare: rotirea φ, ca urmare a deformării arcului sub acţiunea forţei F, se consideră ca fiind unghiul cu care se roteşte o bară dreaptă de lungime l = πDmn ce reprezintă arcul desfăşurat; caracteristica arcului este liniară.

Săgeata (rotirea) arcului se determină cu relaţia,

  =  =  =   = ,                (ARC-T.8.2.7)

 

în care, E reprezintă modulul de elasticitate longitudinal, iar Iz – momentul de inerţie axial al secţiunii spirei.

Rigiditatea arcului,

  =  =  .                                                                (ARC-T.8.2.8)

 

Energia acumulată este egală cu lucrul mecanic (caracteristica liniară),

 

  =  =   =                         (ARC-T.8.2.9)

 

                     a                                                             b

 

Fig. ARC-T.8.2.3 Model de calcul a săgeţii: a – deformarea  arcului; b – model simplificat

 

 

 ARC-T.8.3 Modele de calcul a arcurilor lamelare şi în foi 

 

ARC-T.8.3.1. Arcuri monolamelare drepte 

Tab. ARC-T.8.3.1 Modele de calcul de rezistenţă, rigiditate şi a energiei acumulate

 

a 

 

b

 Ipoteze simplificatoare: tensiunea de forfecare se neglijează (lamela este subţire); grosimea lamelei h este constantă; fibra medie a lamelei este dreaptă (uneori poate fi curbă); solicitarea principală este de încovoiere cu tensiunea variabilă pe lungimea lamelei de la valoarea zero (x = l) la valoarea maximă (x = 0).

Condiţia de rezistenţă la încovoiere se descrie cu relaţia,

σîmax  =  =   =  ≤ σaî ,                                       (ARC-T.8.3.1.1)

 

unde, b reprezintă lăţimea lamelei, h - grosimea lamelei, l - lungimea, σaî - tensiunea admisibilă la încovoiere  (σaî =(1,1...1,25) σat (tensiunea admisiblilă la tracţiune); σîmax - tensiunea maximă la încovoiere.

Săgeata arcului,

δ =  =  =  ,                                                    (ARC-T.8.3.1.2)

 

sau ţinând cont de rel. (ARC-T.8.3.1)

δ =  ,                                                                                             (ARC-T.8.3.1.3)

 

unde, E este modulul de elasticitate longitudinal al materialului, Iz - momentul de inerţie axial al secţiunii arcului.

Rigiditatea arcului,

k =  =  =                                                                              (ARC-T.8.3.1.4)

 

este constantă şi deci, caracteristica elastică este liniară.

Energia acumulată este egală cu lucrul mecanic (caracteristica liniară), ţinând cont şi de (ARC-T.8.3.1.1),

 

 

unde, V = b h l reprezintă volumul arcului; se evidenţiază o valoare mică a coeficientului de utilizare specifică (ηa = 1/18) ce arată eficienţă redusă a acumulării energiei.

             Fig. ARC-T.8.3.1 Modele de calcul a arcurilor monolamelare: a – încastrate; b – dublu  rezemate 

 

 

 ARC-T.8.3.2 Arcuri în foi (multilamelare)

 

Arcurile în foi sunt subsisteme elastice  compuse din mai multe lamele suprapuse care lucrează (se deformează) simultan.

 

Tab. ARC-T.8.3.2.1 Construcţia, eficienţa şi geometria arcurilor în foi

 

 

Descriere

Prima şi cea mai lungă foaie a cărei coardă este egală cu deschiderea arcului se numeşte foaie principală. Celelalte foi mai scurte şi montate sub aceasta se numesc foi secundare. Foile arcului sunt dispuse şi dimensionate astfel încât arcul întreg să se apropie cât mai mult de un solid de egală rezistenţă la încovoiere.

Parametri geometrici constructivi

L1 - lungimea braţului faţă/spate (stânga/dreapta);  L2 - lungimea braţului spate/faţă (dreapta/stânga); R - curbura; H - grosimea; A - înălţimea; h - grosimea foii; lăţimea foii

Avantaje: pot prelua şi forţe transversale; au şi capacitate de amortizare; construcţie simplă

Dezavantaje: greutate mărită (raportul energie potenţială specifică, energie înmagazinată la deformare/volum,  este mai mic decât în cazul arcurilor elicoifdale sau bară de torsiune; durabilitate (durata de funcţionare) redusă.

 Fig. ARC-T.8.3.2.1 Geometria arcului în foi

  

Tab. ARC-T.8.3.2.1 Tipuri de arcuri în foi

 

 

 

 

 

 a 

 b

 c

 d

                e

 Fig. ARC-T.8.3.2.2 Tipuri de arcuri în  foi: a – cu cap alunecător; b –  cu rigiditate biliniară (progresiv); c – cu rigiditate variabilă; d – cu pretensionate (curburi iniţiale diferite); e –  cu foi cu forma parabolică

 

 

 Tab. ARC-T.8.3.2.1 Caracteristicile arcurilor în foi

   

 

 

 

 a 

 b

 c

 d

Fig. ARC-T.8.3.2.3 Caracteristicile arcurilor în foi: a – liniară (cu rigiditate constantă); b –  biliniară;  c – neliniară (cu rigiditate variabilă)  ;  d – neliniară cu histeresis (amortizare) 

Obs.

Arcurile în foi au şi capacitate de amortizare, generată de frecările interne dintre lamele. Frecarea din arc apare ca urmare a alunecării relative a foilor; arcul începe să înmagazineze energie internă numai după ce forţa de frecare este învinsă,  mai mare decât Fst (fig. ARC-T.8.3.2.3,d). Datorită frecării dintre foi arcul are capacitatea de a atenua şocurile şi vibraţiile. Şocurile provocate de forţele exterioare inferioare sunt transmise direct, fără amortizare, cadrului autovehiculului înrăutăţind confortul şi stabilitatea de rulare; din acest motiv arcurile în foi nu se folosesc pentru autovehicule pentru pasageri.

Pentru a obţine caracteristica optimă (neliniară), în cazul arcurilor cu caracteristică liniară, se utilizează alte arcuri cu caracteristică liniară sau neliniară (din cauciuc).

Caracteristica neliniară a arcurilor în foi se obţine şi prin rezemarea variabilă (cu alunecare) a capetelor acestora.

 

 Tab. ARC-T.8.3.2 Modele de calcul de rezistenţă, de rigiditate şi a energiei acumulate

 

 

a

b

Ipoteze simplificatoare: tensiunea de forfecare se neglijează (foile sunt subţiri); grosimile lamelelor h sunt constante; fibrele medii a lamelelor pot fi dreapts sau poate curbe (elipsă, parabolă); se neglijează frecările dintre lamele; solicitarea principală este de încovoiere cu tensiunea variabilă de-a lungul lamelelor.

Condiţia de rezistenţă la încovoiere,

 

unde, b reprezintă lăţimea foilor, h - grosimea, l - lungimea, n - numărul de foi; σaî - tensiunea admisibilă la încovoiere  (σaî =(1,1...1,25) σat (tensiunea admisibilă la tracţiune).

Săgeata arcului,

sau ţinând cont de rel. (ARC-T.8.3.1)

 

Rigiditatea teoretică a arcului,

 

este constantă şi deci, caracteristica elastică teorectică este liniară.

Energia acumulată este egală cu lucrul mecanic (caracteristica teoretică liniară),

 

 

 

 Fig. ARC-T.8.3.2 Modele de calcul a arcurilor în  foi: a – cu un singur braţ; b – cu două braţe

 

 ARC-T.8.4 Modele de calcul a arcurilor bară de torsiune

 

Arcul bară de torsiune are forma unei bare drepte, de obicei de secţiune constantă pe toată lungimea, acţionat de forţe aplicate la capetele unor leviere dispuse la unul (fig. ARC-T.8.4.3,b) sau ambele capete (fig. ARC-T.8.4.1, fig. ARC-T.8.4.4,a). Secţiunile arcurilor pot avea forme simple sau compuse (fig. ARC-T.8.4.2,a); secţiunile simple  pot fi rotundă, pătrată (fig. ARC-T.8.4.2,a), dreptunghiulară, hexagonală, inelară etc.; secţiunile compuse pot fi alcătuite din mai multe bare de secţiune rotundă sau dreptunghiulară (fig. ARC-T.8.4.2,a). Formele capetelor arcurilor bară care se asamblează cu levierele pot fi: cilindrică cu aplatisare, hexagonală, pătrată, canelată (fig. ARC-T.8.4.3,b).

Avantaje:  construcţie şi tehnologie simple; montaj şi întreţinere uşoare; lipsa frecărilor inteioare; gabarit radial relativ redus; capacitate portantă mare (energia înmagazinată în unitatea de volum este de aproximativ de 4 ori mai mare decât un arc în foi).

Dezavantajul principal este gabaritul axial mărit (pentru diminiuare se poate adopta varianta combinată, fig. ARC-T.8.4.3).

La majoritatea automobilelor barele de torsiune sunt integrate ca stabilizatoare (fig. ARC-T.8.4.4)  cu rolul de a micşora înclinările automobilului în jurul axei longitudinale; stabilizatorele se dispun transversal faţă de axa longitudinală a automobilului şi se fixează de braţele de ghidare ale suspensiilor independente sau de punte în cazul suspensiilor dependente. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 a

 
                                        b

 Fig. ARC-T.8.4.1 Suspensie de autovehicul cu două arcuri în foi şi un arc bară de torsiune montat transversal [Boiangiu, 1958]

  Fig. ARC-T.8.4.2 Forme geometrice: a – de secţiuni; b – de capete de fixare

 Fig. ARC-T.8.4.3 Arc bară de torsiune combinat (bară plină cu bară tubulară)

Fig. ARC-T.8.4.4 Bare stabilizatoare în formă de U

       

Tab. ARC-T.8.4.1 Modele de calcul de rezistenţă, de rigiditate şi a energiei acumulate

 

a

b

c

 Ipoteze simplificatoare:

-  nu preiau forţe longitudinale (axiale) şi/sau transversale (de forfecare şi de încovoiere) consecinţă a     montajului cu reazeme (lagăre cu alunecare) de susţinere;

-  nu se iau in considerare deformaţiile levierelor şi din asamblările capetelor de fixare;

- solicitarea principală este torsiunea.

Condiţia de rezistenţă la torsiune,

 

unde, a reprezintă lungimea levierului, d - diametrul barei, F - forţa de încărcare, τat - tensiunea admisibilă la torsiune (600...800 MPa, pentru oţel).

Săgeata arcului, ţinând cont şi de relaţia (ARC-T.8.4.1), se determină cu relaţiile:

 

 

în care, l reprezintă lungimea barei; Ip - momentul de inerţie polar al secţiunii; G - modulul de elasticitate transversal; pentru cazul τt  = τat se obţine săgeata maximă din condiţia de rezistenţă la torsiune.

Rigiditatea arcului,

 

Lucrul mecanic de deformare, ţinând cont şi de relaţia (ARC-T.8.4.1), se determină cu relaţiile:

 

în care, V = π d2 l/4 reprezintă volumul arcului; se evidenţiază o valoare mare a coeficientului de utilizare specifică (ηa = 1/4), ce indică eficienţă mărită a acumulării energiei

 Fig. ARC-T.8.4.5 Modele de calcul a arcurilor în  bară de torsiune: a – cu două braţe; b – cu un singur braţ

 

ARC-T.8.5 Modele de calcul a arcurilor din cauciuc

 

Descriere

Arcurile din cauciuc sunt folosite pe scară largă în construcţia autovehiculelor ca urmare a proprietăţilor deosebite pe care le au: capacitate mare de amortizare (preiau până la 40% din lucrul mecanic de deformare), construcţie şi tehnologie simple, preţ redus, funcţionare sigură şi silenţioasă. Aceste proprietăţi, pe de-o parte, sunt influenţate de mediul ambiant (temperatură, umiditate, agenţi chimici etc.) şi, pe de altă parte, se diminuează în timp prin procesul de îmbătrânire.

Arcurile din cauciuc sunt realizate, frecvent, din cauciuc sintetic (îmbunătăţit cu materiale de adaus), prin vulcanizare (presare şi încălzire în matriţe). Prin creşterea conţinutului de materiale de adaus, creşte duritatea şi/sau gradul de amortizare.

Caracteristica materialului (cauciucului) este neliniară (fig. ARC-T.8.5.1) cu modulul de elasticitate static Est variabil  (încărcarea/descărcarea se face static, cu viteză redusă) ; curba de descărcare este situată sub curba de încărcare, formându-se o buclă histeresis a cărei suprafaţă determină lucrul mecanic al frecărilor interioare. Frecările interne se transformă în căldură şi deci determină încălzirea arcului.

La încărcări şi descărcări repetate se produce o deplasare a caracteristicii arcului (fig. ARC-T.8.5.1, b) şi, deci, o scădere a modulului de elasticitate (rigidităţii).

În cazul arcurilor din cauciuc pretensionate (încărcate iniţial) solicitate variabil ciclic (fig. ARC-T.8.5.1, c) modulul de elasticitate este diferit de cel static Edin= Δσ/Δε =  kdin Est, unde, kdin  = 1,5 ... 2.

Caracteristicile arcurilor din cauciuc depind de duritatea cauciucului (fig. ARC-T.8.5.2, a),  de forma şi dimensiunile acestuia (fig. ARC-T.8.5.2, b),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 a

 b

 c

 a

 b

 Fig. ARC-T.8.5.1. Caracteristicile cauciucului: a – pentru un singur ciclu încărcare-descărcare; b – pentru mai multe cicluri încărcare-descărcare; c – pentru încărcare cu sarcini alternant simetrice

 Fig. ARC-T.8.5.2. Caracteristici ale arcurilor din cauciucuc de compresiune (exemple) [Boiangiu, 1958]: a – dependenţa de duritatea cauciucului; b – dependenţa de formă

 

ARC-T.8.5.1. Arcuri din cauciuc de compresiune

 

Arcurile din cauciuc solicitate la compresiune, deseori, executate sub formă cilindrică sau paralelipipedică, sunt aramate pe feţele frontale cu placi metalice prin vulcanizare.  Aceste arcuri se folosesc, frecvent, drept tampoane pentru atenuarea şocurilor şi vibraţiilor.

 

Tab. ARC-T.8.5.1.1 Modele de calcul de rezistenţă şi a săgeţii

 

       

 

a                                 b

 

bFig. ARC-T.8.5.1.1 Model de calcul: a – starea nedeformată; b – starea deformată

 Ipoteze simplificatoare: la deformaţii mici se consideră caracteristica liniară şi este valabilă legea lui Hooke, σ = Ec ε  (Ec este modulul de elasticitate longitudinal al cauciucului).

Condiţia de rezistenţă la compresiune,

                                  (ARC-T.8.5.1.1)

unde, A reprezintă aria arcului,  σac - teniunea admisibilă la compresiune a cauciucului (σac = 1...3 MPa, pentru sarcini variabile,  1...3 MPa; σac = 3...5 MPa, pentru sarcini statice), d - diametrul arcului cu secţiune circulară. 

Săgeata arcului,

                                   (ARC-T.8.5.1.2)

unde, h reprezintă lungimea arcului, Ec = 3...5 MPa; pentru σcmax  = σac  se obţine săgeata maximă din condiţia de rezistenţă la compresiune a cauciucului.

Rigiditatea arcului,

                                                            (ARC-T.8.5.1.3)

 

ARC-T.8.5.2. Arcuri din cauciuc de forfecare

 

Tab. ARC-T.8.5.2.1 Modele de calcul de rezistenţă şi de rigiditate

 

                          

                    a                                                         b

 

Fig. ARC-T.8.4.5.1 Model de calcul: a – starea nedeformată; b – starea deformată

Ipoteze simplificatoare: arcurile bucşă solicitate la forfecare transmit forţa exterioară F  prin intermediul cauciucului vulcanizat pe cele două inele metalice; forţa exterioară echilibrează suma tensiunilor de forfecare, considerate uniform repartizate pe lungime, F = A τ = 2πrh τ; la deformaţii mici se poate considera că au caracteristică liniară şi este valabilă legea lui Hooke, τ = G γ , cu G modulul de elasticitate transversal şi γ = F/GA - deformaţia unghiulară.

Tensiunea de forfecare maximă, care apare pe suprafaţa de contact (de vulcanizare) dintre cauciuc şi inelul metalic interior (r = d/2) şi condiţia de rezistenţă la forfecare,

τmax =  ≤ τa ,                                                            (ARC-T.8.5.2.1)

 

unde, τa reprezintă  tensiunea de forfecare admisibilă (τa = 1,5...4 MPa).

Săgeata arcului,ţinând cont că, pe de-o parte, γ  tg γ = dδ/dr şi, pe de altă parte, γ = F/GA, se determină cu relaţia,

.                              (ARC-T.8.5.2.2)

Rigiditatea arcului,

                                                                         (ARC-T.8.5.2.3)

unde, G reprezintă modulul de elasticitate transversal

 

ARC-T.8.5.3. Arcuri din cauciuc de torsiune

 

 Tab. ARC-T.8.5.3.1 Modele de calcul de rezistenţă şi de rigiditate

 

 

                         a                                            b

 

Fig. ARC-T.8.5.3.1 Model de calcul: a – starea nedeformată; b – starea deformată

 

Ipoteze simplificatoare: arcurile bucşă solicitate la torsiune transmit momentul exterior Mt  prin intermediul cauciucului vulcanizat pe cele două inele metalice; momentul de torsiune echilibrează suma tensiunilor de forfecare, considerate uniform repartizate pe circumferinţă,  Mt = A τ r = 2πrh τ r = 2πr2 h τ; la deformaţii mici se poate considera că au caracteristică liniară şi este valabilă legea lui Hooke, τ = G γ , cu G modulul de elasticitate transversal şi γ  - deformaţia unghiulară.

Tensiunea de forfecare maximă, care apare pe suprafaţa de contact (de vulcanizare) dintre cauciuc şi inelul metalic interior (r = d/2)  şi condiţia de rezistenţă la forfecare,

 

 

unde, τa reprezintă  tensiunea la forfecare admisibilă (τa = 1,5...4 MPa).

 

Săgeata (rotirea) arcului, ţinând cont că, pe de-o parte, γ ≈ tg γ = r dφ/dr şi, pe de altă parte, γ = τ /G (conform ipotezei de mai sus), se determină cu relaţia,

 

.           (ARC-T.8.5.3.2)

Rigiditataea arcului,

                                                                                        (ARC-T.8.5.3.3)