AEV. ANGRENAJE EVOLVENTICE

AEV-T. STRUCTURA, CONSTRUCŢIA ŞI MODELAREA ANGRENAJELOR EVOLVENTICE

AEV-T.2 MODELAREA ANGRENAJELOR EVOLVENTICE

AEV-T.2.3 MODELAREA ANGRENAJELOR CONICE (CU DANTURĂ DREAPTĂ, CURBĂ (ÎNCLINATĂ) ŞI HIPODĂ

CUPRINS

AEV-T.2.3.1 PARTICULARITĂŢI GEOMETRICE ŞI FUNCŢIONALE ALE ANGRENAJELOR CONICE

AEV-T.2.3.2 MODELAREA ÎNCĂRCĂRILOR ANGRENAJELOR CONICE

AEV-T.2.3.3 MODEL DE CALCUL A TENSIUNII DE CONTACT DIN ANGRENAJELE CONICE

AEV-T.2.3.4 MODEL DE CALCUL A TENSIUNILOR DE ÎNCOVOIERE DIN ANGRENAJELE CONICE

AEV-T.2.3.5 PARTICULARITĂŢI DE CALCUL A ANGRENAGELOR HIPOIDE

AEV-T.2.3.1 PARTICULARITĂŢI GEOMETRICE ŞI FUNCŢIONALE ALE ANGRENAJELOR CONICE [Rădulescu, 1985; Moldovean, 2001]

Aspecte generale

Parametrii cinematici şi geometrici principali

- Din punct de vedere al poziţiei spaţiale a axelor angrenajului general (tab. AEV-T.1.7.1), angrenajul conic are distanţa dintre axe a = 0 şi unghiul dintre acestea Σ ≠ 0.

- Angrenajul conic este un angrenaj sferic cu axoidele mişcării suprafeţe conice circulare cu semiunghiurile δ_1,2 (fig. AEV-T.2.3.1.1) şi unghiul dintre axe Σ= δ₁+ δ₂care se poate considera o generalizare a angrenajului cilindric care are punctul O la infinit. Astfel, elementele angrenajului conic se pot studia prin analogie cu cele ale angrenajului cilindric considerând corelaţiile: cercurile din plan devin cercuri pe sferă, evolventa plană devine evolventa sferică, dreapta de angrenare devine cerc diametral, cremaliera de referinţă devine roată plană de referinţă.

- În cazul execuţiei roţilor conice cu scule cu profil drept (muchii aşchietoare linii drepte) rezultă un profil neriguros evolventic cu cercul diametral de angrenare degenerat în octoidă, de unde şi denumirea de angrenaj octoidal.

- Pentru definirea geometriei angrenajului conic, prin analogie cu a celui cilindric, se aproximează suprafaţele sferice cu suprafaţe conice frontale (desfăşurabile în plan) tangente la sfere (aproximaţia Tredgold).

- Angrenajul conic, fiind un angrenaj evolventic aproximativ, poate fi numai nedeplasat sau zero-deplasat cu deplasări radiale şi/sau tangenţiale.

- Parametrii geometrici de reprezentare în desenele de execuţie (cu implicaţii tehnologice) se definesc la nivelul conului frontal exterior (indice e, care în documentaţia tehnică poate lipsi), iar parametrii geometrici pentru calculul forţelor şi de rezistenţă se definesc la nivelul conului frontal mediu (indice m, fig. AEV-T.2.3.1.2).

- Diametrele cercurilor de divizare medii (fig. AEV-T.2.3.1.2; 1 - pinion; 2 - roată conică),

) =, (AEV-T.2.3.1.2)

(AEV-T.2.3.1.3)

cu factorul de lăţime raportat la diametrul pinionului, – factorul de lăţime raportat la lungimea generatoarei, d_e1 – diametrul cercului de divizare exterior al pinionului, R_m – lungimea generatoarei conului de divizare mediu, R_e – lungimea generatoarei conului de divizare exterior, δ_1,2 - semiunghiurile conurilor de divizare, b – lăţimea danturii.

- Modulul mediu , considerând în (AEV-T.2.3.1.2) d_m1 = m_m z₁ şi d_e1 = m_e z_1,

= (AEV-T.2.3.1.3)

- Raportul de angrenare,

(AEV-T.2.3.1.1)

pentru angrenajul conic ortogonal cu Σ = δ₁ + δ₂ =90^o,

u =1/tgδ₁ = tg δ₂

Obs.

a. Angrenajele conice cu dantură dreaptă, din considerente de funcţionare fără vibraţii şi zgomote, sunt utilizate pentru viteze periferice reduse (v=2…3 m/s).

b. Angrenajele conice cu dantură înclinată funcţionează la viteze periferice de până la 12 m/s, se execută pe aceleaşi maşini pe care se execută roţile cu dantură dreaptă, în condiţii de productivitate mult redusă şi, deci sunt utilizate rar în practică.

c. Angrenajele conice cu dantură curbă funcţionează în condiţiii de silenţiozitate şi durabilitate mărite la viteze periferice mari (de până la 12 m/s), se execută pe maşini specializate de mare productivitate şi au parametrii geometrici dependenţi de procedeele tehnologice de danturare, de tipul maşinii şi sculei de danturat [Velicu, 2004].

- dantura curbă în arc de cerc (Gleason) se execută cu un cap portcuţite (fig. AEV-T.2.3.1.3,a) care are cuţitele de danturat cu muchii rectilinii, dispuse circular; contactul între flancurile dinţilor roţilor este teoretic punctiform; unghiul de înclinare median al danturii în arc de cerc, β_m (uzual, 35^o), este dependent de parametrii sculelor de danturat.

- dantura curbă eloidă, uzual bazată pe procedeul Oerlikon-Spiromatic, are linia flancului dintelui roţii plane epicicloidă alungită ce se obţine prin utilizarea unui cap portcuţite care are cuţitele fixate pe spirale diferite pentru obţinerea unghiului de înclinare median al danturii, β_m = 35^o (fig. AEV-T.2.3.1.3,b) .

d. Angrenajele conice cu axe încrucişate (hipoide) au axoidele (suprafeţele de rostogolire) hiperboloizi de rotaţie şi au raport de transmitere constant. Dantura roţilor hipoide este curbă (fig. AEVT.2.3.1.4) se prelucrează pe aceleaşi maşini de danturat ca şi pentru roţile angrenajelor concurente.

Fig. AEV-T.2.3.1.1 Caracteristicile geometrice principale ale angrenajului conic octoidal

Fig. AEV-T.2.3.1.2 Parametrii geometrici principali ai unei roţii conice


a	b	*Fig. AEVT.2.3.1.4*** Angrenaj hipoid
*Fig. AEV-T.2.3.1.3*** Danturi conice curbe: a – în arc de cerc, b – eloidă [Velicu, 2004]		*Fig. AEVT.2.3.1.4*** Angrenaj hipoid

AEV-T.2.3.2 MODELAREA ÎNCĂRCĂRILOR ANGRENAJELOR CONICE [Rădulescu, 1985]

Fig. AEV-T.2.3.2.1 Schema forţelor angrenajului conic (a-a, secţiunea axială; n-n, secţiune normală; g-g, secţiune tangenţială după generatoare)

a b c d

Fig. AEV-T.2.3.2.2 Sensurile de rotaţie a roţilor (pinionului) şi sensurile înclinării dinţilor acestuia: a – sensul de rotaţie orar, sensul înclinării dintelui spre dreapta; b – sensul de rotaţie antiorar, sensul înclinării dintelui spre stânga; c – sensul de rotaţie orar, sensul înclinării dintelui spre stânga; b – sensul de rotaţie antiorar, sensul înclinării dintelui spre dreapta

Ipoteze simplificatoare:

- forţele normale se consideră aplicate în polul angrenării C asociat conului frontal mediu,

- se neglijează frecările,

- forţele se consideră aplicate static.

Tab. AEV-T.2.3.2.1 Determinarea forţelor

Parametrul şi relaţia de calcul

Direcţia şi sensul

Forţele tangenţiale,

(AEV-T.2.3.2.1)

Direcţie tangentă la cercul de rostogolire; sens opus vitezei (forţă rezistentă), pentru roata conducătoare, şi acelaşi sens cu viteza (forţă motoare), pentru roata condusă

Forţele radiale,

Direcţie radială; sensul spre axa roţii

Forţele axiale,

Direcţie axială; sensul spre exterior

Forţa normală,

(AEV-T.2.3.2.6)

Direcţie după normala comună a profilelor în contact; sens opus vitezei, pentru roata conducătoare, şi acelaşi sens cu viteza, pentru roata condusă

Obs.

a. Semnificaţiile parametrilor geometrici din fig. AEV-T.2.3.2.1: δ_1,2 – semiunghiurile conurilor de divizare (rostogolire); d_m1,2 - diametrele cercurilor de divizare medii; β_m– unghiul de înclinare al danturii pe cercul de divizare mediu; α_n - unghiul de angrenare în plan normal median; ω_1,2- vitezele unghiulare; M_t1 (T₁) – momentul de torsiune al pinionului conic; M_t2 - momentul de torsiune al roţii conice

b. În relaţiile (AEV-T.2.3.2.2) ... (AEV-T.2.3.2.5): semnul superior este pentru situaţia în care sensul de rotaţie al pinionului este acelaşi cu sensul de înclinare a dinţilor acestuia (privind din vârful conului, fig. AEV-T.2.3.2.2, a,d); semnul inferior este pentru cazul în care sensul de rotaţie al pinionului este opus sensului de înclinare a dinţilor acestuia (privind din vârful conului), fig. AEV-T.2.3.2.2, b,c. În fig. AEV-T.2.3.2.1 este reprezentată schema forţelor pentru prima situaţie (sensurile aceleaşi), sensul de rotaţie a pinionului este orar şi sensul înclinării dintelui acestuia este spre dreapta;

c. Cazuri particulare:

Angrenajul conic neortogonal cu dantură dreaptă ( β_m= 0; α_n= α)

;

F_t1 = F_t₂ = F_t; F_n₁ = F_n2 = F_n

Angrenajul conic ortogonal cu dantură dreaptă ( β_m= 0; α_n= α; δ₁+ δ₂= 90^o; fig. AEV-T.2.3.2.3)

;

F_t1 = F_t₂ = F_t; F_r₁ = F_a2; F_a₁ = F_r2; F_n₁ = F_n2 = F_n

a b

Fig. AEV-T.2.3.2.3 Forţele angrenajului conic ortogonal cu dantură dreaptă: a – schema de încărcare a pinionului, b – schema forţelor angrenajului

AEV-T.2.3.3 MODEL DE CALCUL A TENSIUNII DE CONTACT DIN ANGRENAJELE CONICE [Jula, 1989; Rădulescu, 1985; Moldovean, 2001]

Tab. AEV-T.2.3.3.1 Definirea şi parametrii angrenajului cilindric echivalent virtual

Definire angrenaj cilindric echivalent virtual şi roata echivalentă (fig. AEV-T.2.3.3.1):

Calculul de rezistenţă al angrenajului conic cu dantură curbă (înclinată), considerând că în planul normal median acţionează forţa de interacţiune F_n, se efectuează în secţiunea mediană (conul frontal median) prin intermediul unui angrenaj cilindric echivalent (virtual, de unde şi indicele v) cu dantură înclinată.

Roata echivalentă a angrenajului cilindric cu dantură înclinată echivalent are dinţii cu aceeași formă şi dimensiuni ca şi dinţii roţii conice reale în plan normal median; pentru modelarea matematică se vor considera următoarele egalităţi:

- modulul normal al roţilor echivalente este egal cu modulul normal median al roţilor conice;

- unghiul de înclinare a danturii roţilor echivalente este egal cu unghiul de înclinare de divizare median al danturii roţilor conice;

- razele cercurilor de divizare ale roţilor echivalente sunt egale cu lungimile generatoarelor conurilor frontale mediane ale roţilor conice;

- înălţimea dinţilor roţilor înlocuitoare este egală cu înălţimea dinţilor roţilor conice în secţiune mediană

Fig. AEV-T.2.3.3.1 Modelul de echivalare a angrenajului conic cu dantură înclinată sau curbă cu un angrenaj cilindric cu dantură înclinată

Parmetrii angrenajului cilindric echivalent:

Diametrele cercurilor de divizare,

. (AEV-T.2.3.3.1)

Numerele de dinţi,

Înlocuind în rel. (AEV-T.2.3.3.1), d_1,2v = m_m z_1,2v, d_m1,2 = m_m z_1,2(modulul normal al roţii echivalente este egal cu modulul normal mediu), rezultă,

. (AEV-T.2.3.3.2)

Raportul de angrenare,

Având în vedere rel. (AEV-T.2.3.3.2),

. (AEV-T.2.3.3.3)

Distanţa dintre axe,

Ţinînd cont de rel. (AEV-T.2.3.3.2) şi, rezultă,

= = . (AEV-T.2.3.3.4)

Momentul de torsiune,

Ținând cont de rel. (AEV-T.2.3.3.2) rezultă,

. (AEV-T.2.3.3.5)

Lăţimea danturii (fig. AEV-T.2.3.3.1),

b = b_v (AEV-T.2.3.3.6)

Calculul la contact al angrenajului conic cu dantură curbă se face prin intermediul angrenajului cilindric cu dantură înclinată echivalent.

Relaţiile de calcul la contact (tab. AEV-T.2.3.3.2) se obţin prin înlocuirea parametrilor angrenajului echivalent (tab. AEV-2.3.3.1) în relaţiile de calcul la contact a angrenajului cilindric cu dantura înclinată din cap. AEV-T.2.2, tab. AEV-T. 2.2.3.2.

*Tab. AEV-T.2.3.3.2* Relaţii de calcul la contact a angrenajelor conice
Tensiunea de contact			Dimensionare		Verificare
Cazul general. Angrenaj conic neortogonal cu dantură curbă (înclinată) (Σ ≠ 90, β_m ≠ 0)					, (AEV-T.2.3.3.15) , σ_HP_1,2– tensiunile admisibile la contact pentru pinion şi roată; σ_Hlim – tensiunea limită la contact (fer. AEV-M.1); S_{H min} – factorul minim de siguranţă la contact (fer. AEV-F.1); Z_N_1,2 – factorii numerelor ciclurilor de solicitare ale pinionului şi roţii (fer. AEV-F.13); Z_R – factorul rugozităţilor flancurilor (fer. AEV-F.11); Z_L – factorul lubrifiantului (fer. AEV-F.12); Z_v – factorul de viteză (fer. AEV-F.10); Z_w – factorul durităţilor (fer. AEV-F.9); Z_x – factorul de mărime (fer. AEV-F.8)
		(AEV-T.2.3.3.7)		(AEV-T.2.3.3.8)
Cazul particular 1. Angrenaj conic ortogonal cu dantură curbă (înclinată) (Σ = 90, β_m ≠ 0)
		(AEV-T.2.3.3.9)		(AEV-T.2.3.3.10)
Cazul particular 2. Angrenaj conic neortogonal cu dantură dreaptă (Σ ≠ 90, β_m = 0)
		(AEV-T.2.3.3.11)		(AEV-T.2.3.3.12)
Cazul particular 3. Angrenaj conic ortogonal cu dantură dreaptă (Σ = 90, β_m = 0)
		(AEV-T.2.3.3.13)		(AEV-T.2.3.3.14)
Obs.	a. z₁este numărul de dinţi al pinionului (fer. AEV-P.1.1); = - factorul zonei de contact (fer. AEV-F.7; - factorul înclinării dintelui pentru solicitarea de contact. b. Tensiunile de contact, menţionate în coloana 1, precum şi relaţiile de dimensionare, din coloana 2, se pot determina în funcţie de modulul exterior, m_e, sau de lungimea generatoarei exterioare, R_e, ca urmare a folosirii relaţiei sau, respectiv, . În plus, se pot exprima şi dependent de factorul de lăţime dependent de generatoare prin înlocuirea factorului de lăţime diametral cu relaţia, .

AEV-T.2.3.4 MODEL DE CALCUL A TENSIUNILOR DE ÎNCOVOIERE DIN ANGRENAJELE CONICE

Calculul la încovoiere al angrenajului conic cu dantură curbă se face, de asemenea, prin intermediul angrenajului cilindric cu dantură înclinată echivalent.

Relaţiile de calcul la încovoiere (tab. AEV-T.2.3.4.1) se obţin prin înlocuirea parametrilor angrenajului echivalent (tab. AEV-2.3.3.1) în relaţiile de calcul la contact a angrenajului cu dantura înclinată din cap. AEV-T.2.2 tab. AEV-T. 2.2.4.1.

Tab. AEV-T.2.3.4.1 Relaţii de calcul la încovoiere pentru angrenajul conic

Tensiunile maxime de încovoiere (1 – pinion, 2- roată)		Dimensionare		Verificare
Cazul general. Angrenaj conic neortogonal cu dantură curbă (înclinată) (Σ ≠ 90, β_m ≠ 0)				σ_F1 σ_FP1, σ_F2 σ_FP2; σ_FP1,2– tensiunile admisibil la încovoiere pentru pinion şi roată; σ_Flim1,2 – tensiunea limită la încovoiere pentru pinion şi roată (fer. AEV-M.1); S_Fmin – factorul minim de siguranţă la încovoiere (fer. AEV-F.1); Y_N1,2 – factorul numerelor ciclurilor de solicitare ale pinionului şi roţii (fer. AEV-F.13), Y_ST – factorul tensiunii de încovoiere de refererinţă (Y_ST=2); Y_δ1,2 – factorii concentratorilor de tensiuni ai pinionului şi roţii (fer. AEV-F.15); Y_R1,2 – factorii rugozităţilor racordărilor pinionului şi roţii (fer. AEV-F.11), Y_x – factorul de mărime petru încovoiere (fer. AEV-F.8)
	(AEV- T.2.3.4.1)		(AEV- T.2.3.4.2)
Cazul particular 1. Angrenaj conic ortogonal cu dantură curbă (înclinată) (Σ =90, β_m ≠ 0)
	(AEV- T.2.3.4.3)		(AEV- T.2.3.4.4)
Cazul particular 2. Angrenaj conic neortogonal cu dantură dreaptă (Σ ≠ 90, β_m = 0)
	(AEV- T.2.3.4.5)		(AEV- T.2.3.4.6)
Cazul particular 3. Angrenaj conic ortogonal cu dantură dreaptă (Σ = 90, β_m = 0)
	(AEV- T.2.3.4.7)		(AEV- T.2.3.4.8)
Obs. a. z₁ este numărul de dinţi al pinionului (fer. AEV-P.1.1); ; Y_β – factorul de înclinare a liniei de contact (fer. AEV-F.9). b. Tensiunile de contact, menţionate în coloana 1, precum şi relaţiile de dimensionare din coloana 2 se pot explicita în funcţie de modulul exterior, m_e, sau de lungimea generatoarei exterioare, R_e, ca urmare a folosirii relaţiei d_e1 = m_e z₁ sau, respectiv, d_e1 = 2 R_e sin δ₁.

AEV-T.2.3.5 PARTICULARITĂŢI DE CALCUL A ANGRENAGELOR HIPOIDE