a                                                              b

Fig. AEV-T.2.2.1.1 Caracteristicile geometrice principale ale profilului evolventic înclinat: a - vedere spaţială; b – vedere axială

Particularităţi geometrice

-       Flancul dintelui se generează prin deplasarea unei drepte înclinată cu unghiul β_b în raport cu generatoarea cilindrului de bază (fig. AEV-T.2.2.1.1,a). Dependenţa dintre razele de curbură ale evolventei (profilului) în plan normal n-n, ρ_n, şi, cea în plan frontal t-t, ρ_t,  este

ρ_n = ρ_t cosβ_b.                                                                                 (AEV-T.2.2.1.1)

-      Dependenţa dintre pasul danturii în plan frontal p_t şi cel în plan normal p_n (fig. AEV-T.2.2.1.1,b) este  p_n = p_t cosβ; ţinând cont că p = m_t π, rezultă dependenţa dintre modulul frontal m_t şi m_n,

m_n = m_t cosβ,                                                                              (AEV-T.2.2.1.2)

    cu β unghiul de înclinare a danturii;

Obs. în practica de proiectare, de obicei, parametrii geometrici în plan frontal nu conţin indicele t  (m_t = m,  p_t = p, ρ_t = ρ etc.)

Particularităţi constructive şi funcţionale

-      Lungimea dintelui este mai mare decât lăţimea roţii (rezistenţă la încovoiere este mai mare decât în cazul dintelui drept).

-       Dinţii înclinaţi intră şi ies progresiv în şi, respectiv, din angrenare fapt, ce conduce la zgomote reduse şi, deci, utilizarea pentru viteze mai mari.

-       Există mai multe perechi de dinţi în angrenare; gradul de acoperire total, ε_γ = ε_α+ ε_β,

    ε_α – gradul de acoperire în plan frontal, ε_β -  gradul de acoperire suplimentar, datorat  înclinării danturii.

Fig. AEV-T.2.2.2.1 Schema forţelor : a – în plan axial pentru pinion, b – în plan frontal pentru angrenaj; c – în plan normal pentru angrenaj; d - în plan axial pentru roată; e – vedere spaţială

Ipoteze simplificatoare:

-         forţele normale se consideră aplicate în polul angrenării C la mijlocul lăţimii roţilor (fig. AEV-T.8.2.2.1)

-         se neglijează frecările,

-         forţele se consideră aplicate static

Tab. AEV-T.2.2.2.1 Relaţiile de calcul a  forţelor

Parametrul

Relaţia

Direcţia şi sensul (fig. AEV-T.2.2.2.2)

Forţa tangenţială,

F_t = F_t1= F_t2

  (AEV-T.2.2.2.1)

Direcţie tangentă la cercurile  de rostogolire;  sens opus vitezei (forţă rezistentă), pentru roata conducătoare, şi acelaşi sens cu viteza (forţă motoare), pentru roata condusă

Forţa radială,

F_r = F_r1= F_r2

  (AEV-T.2.2.2.2)

Direcţie radială; sensul spre centrul roţii;

tgα_wt = tgα_wn/cosβ_w

Forţa axială,

F_a = F_a1= F_a2

  (AEV-T. 2.2.2.3)

Direcţie axială; sensul determinat de direcţia de înclinare a dintelui şi de sensul de rotaţie al roţii

Forţa normală,

F_n = F_n1= F_n2

F_n =        

(AEV-T.2.2.2.4)

( )

Direcţie după normala comună a profilelor în contact;  sens opus vitezei (forţă rezistentă), pentru roata conducătoare, şi acelaşi sens cu viteza (forţă motoare), pentru roata condusă 

e

Obs. 1

Pentru angrenajul nedeplasat  (α_wn= α_n = α; β_w = β; d_w1= d₁):

 ,

  ,

 ,

α = α_n – unghiul de angrenare de referinţă, d₁  - diametrul de divizare al pinionului; β – unghiul de înclinare a danturii

                                                    a                                                                         b                                                                       c

Fig. AEV-T.2.2.2.2 Direcţiile şi sensurile forţelor din angrenajele cilindrice cu dantură înclinată: a – mişcarea în sens orar şi înclinarea danturii spre dreapta; b – mişcarea în sens orar şi înclinarea danturii spre stânga; c – mişcarea în sens antiorar şi înclinarea danturii spre dreapta  [Moldovean, 2001]

Obs. 2 Semnificaţiile parametrilor geometrici din fig. AEV-T.2.2.2.1: d_w1,2 - diametrele cercurilor de rostogolire;   β_w – unghiul de înclinare al danturii pe cercul de rostogolire; α_wt  - unghiul de angrenare în plan frontal; α_wn - unghiul de angrenare în plan normal; ω_1,2 - vitezele unghiulare; M_t1 sau T₁ – momentul de torsiune al pinionului; M_t2 - momentul de torsiune al roţii; F_tn – forţa normală în plan tangenţial (F_tn  = F_tn1 = F_tn2)

Definire angrenaj echivalent (fictiv, virtual):

Deoarece în planul normal la direcţia dintelui dimensiunile sunt minime şi, în plus,  în acest plan acţionează forţa de interacţiune F_n, calculul angrenajului cilindric cu dantură înclinată se realizează prin intermediul unui angrenaj cilindric echivalent cu roţi echivalente (cu dantură dreaptă, fig. AEV-T.2.2.3.1,a,b), care are aceiaşi parametri geometrici şi de încărcare ca ai angrenajului real (cu dantură înclinată) în plan normal.

Roata echivalentă este roata cu dantură dreaptă care are dinţii cu aceeași formă şi dimensiuni ca şi dinţii roţii reale în plan normal (de unde şi indicele n); pentru modelarea matematică se vor considera următoarele egalităţi: raza de curbură a profilului dintelui roţii echivalente este egală cu raza de curbură a profilului dintelui roţii reale în plan normal; modulul roţii echivalente este egal cu modulul normal al roţii reale; coeficientul deplasării de profil al roţii echivalente este egal cu coeficientul deplasării de profil de la roata reală în plan normal.

Parametrii angrenajului cilindric echivalent (pentru angrenajul înclinat nedeplasat):

Diametrele cercurilor de divizare

Din fig. AEV-T.2.2.3.1,c şi d rezultă d = 2 ρ_t sinα_t  şi, respectiv, d_n=2 ρ_n sinα (relaţiile sunt generale, la nevoie, se pot personaliza pentru pinionul, 1 şi roata 2); ţinând cont de relaţia (AEV-T.2.2.1.1), rezultă

 =    .                                                               (AEV-T.2.2.3.1)

Numerele de dinţi ai roţilor

Înlocuind în relaţia (AEV-T.2.2.3.1), d_n = m_n z_n şi d = m z şi, în plus, ţinând cont de relaţia (AEV-T.2.2.1.2), rezultă

   .                                                                             (AEV-T.2.2.3.2)

Distanţa dintre axe

Ținând cont de rel. (AEV- T.2.2.3.1),

   .                                     (AEV-T.2.2.3.3)

Raportul de angrenare

Având în vedere rel. (AEV- T.2.2.3.3),

 .                                       (AEV-T.2.2.3.4)

Momentul de torsiune al pinionului

Ţinând cont de fig. AEV-T.2.2.3.2 şi relaţia (AEV-T.2.2.3.3), rezultă 

  (AEV-T.2.2.3.5)

Lăţimea danturii (fig. AEV-T.2.2.3.1,a,b)

                                                                                                   (AEV-T.2.2.3.6)

a 

b

     c

d

Fig. AEV-T.2.2.3.1 Modelul de echivalare a angrenajului cilindric cu dantură înclinată cu un angrenaj cu dantură dreaptă: a - vedere axială a angrenajului cu dantură înclinată (real), b - vedere axială a angrenajului cu dantură dreaptă echivalent (virtual), c – vedere frontală pinion/roată cu dantură înclinată (reale); d – vedere frontală pinion/roată cu dantură dreaptă echivalent (virtuale)

                                                 a                                                b

Fig. AEV-T.2.2.3.2 Modelul de echivalare a momentului de torsiune: a - vedere axială şi secţiune normală a dintelui pinionului (real), b - vedere frontală a pinionului echivalent

 Tab. AEV-T.2.2.3.2 Relaţii de calcul la contact a angrenajului cilindric cu dantură înclinată

Tensiunea de contact

Verificare

Dimensionare

(AEV- T.2.2.3.7)

,   (AEV- T.2.2.3.10)

, 

σ_HP1,2 – tensiunile admisibile la contact pentru pinion şi roată, σ_Hlim – tensiunea limită la contact (fer. AEV-M.1),

S_{H min} – factorul minim de siguranţă la contact (fer. AEV-F.1),

Z_N1,2 – factorii numerelor ciclurilor de solicitare ale pinionului şi roţii (fer. AEV-F.13),

Z_R – factorul rugozităţilor flancurilor (v fer. AEV-F.11),

Z_L – factorul lubrifiantului (fer. AEV-F.12), 

Z_v – factorul de viteză (fer. AEV-F.10),

Z_w – factorul durităţilor (fer. AEV-F.9),

Z_x – factorul de mărime (fer. AEV-F.8)

  - factorul înclinării danturii pentru solicitarea de contact

(AEV- T.2.2.3.11)

(AEV- T.2.2.3.8)

(AEV- T.2.2.3.12)

(AEV- T.2.2.3.9)

(AEV- T.2.2.3.13)

Obs.

a.   Pentru angrenajul nedeplasat (d_w1=d₁; α_w =α):  ;  d₁= m z₁ (fer. AEV-T.1.2); m – modulul frontal al danturii (fer. AEV-P.1.4), z₁-numărul de dinţi ai pinionului (fer. AEV-P.1.1);  = , factorul zonei de contact (fer. AEV-F.7); pentru simplificarea relaţiilor de calcul se consideră cosα/cosα_w  1

b.  În relaţiile din acest tabel: ,  ,  - factorii de lăţime raportaţi la distanţa dintre axe, modul şi, respectiv, diametrul pinionului (fer. AEV-P.1.3)

c.   Relaţiile de calcul pentru angrenajul cu dantură înclinată sunt cvasiaceleaşi cu cele pentru angrenajul cu dantură dreaptă cu deosebirea că, în plus, apare factorul Z_β; apar diferenţe şi în relaţiile de calcul a factorilor de corecţie (Z_ε, Z_H)

Tensiunile maxime de încovoiere (1 – pinion, 2- roată)

Verificare

Dimensionare

(AEV-

T.2.2.4.1)

,  , (AEV-T.2.2.4.4)

,

σ_FP1,2 – tensiunile admisibile la încovoiere pentru pinion şi roată;

σ_Flim1,2 – tensiunea limită la încovoiere pentru pinion şi roată (fer. AEV-M.1);

S_Fmin – factorul minim de siguranţă la încovoiere (fer. AEV-F.1);

Y_N1,2 – factorul numerelor ciclurilor de solicitare ale pinionului şi roţii  (fer. AEV-F.13),

Y_ST – factorul tensiunii de încovoiere de refererinţă (Y_ST=2);

Y_δ1,2 – factorii concentratorilor de tensiuni ai pinionului şi roţii (fer. AEV-F.15);

Y_R1,2 – factorii rugozităţilor racordărilor pinionului şi roţii (fer. AEV-F.11),

Y_x – factorul de mărime pentru încovoiere (fer. AEV-F.8);

Y_β – factorul înclinării danturii pentru solicitarea de încovoiere (fer. AEV-F.9);

(AEV-

T.2.2.4.5)

(AEV-

T.2.2.4.2)

(AEV-

T.2.2.4.6)

(AEV-

T.2.2.4.3)

(AEV-

T.2.2.4.7)

Obs.

a.  Pentru angrenajul nedeplasat (d_w1=d₁; α_w =α): ;  d₁= m z₁  (fer. AEV-T.1.2); m – modulul frontal al danturii (fer. AEV-P.1.4), z₁ - numărul de dinţi al pinionului (fer. AEV-P.1.1); ; pentru simplificarea relaţiilor de calcul se consideră cosα/cosα_w  1

b.  În relaţiile din acest tabel: ,  ,  - factori de lăţime raportaţi la distanţa dintre axe, modul şi, respectiv, diametrul pinionului (fer. AEV-P.1.4)

c.   Relaţiile de calcul pentru angrenajul cu dantură înclinată sunt cvasiaceleaşi cu cele pentru angrenajul cu dantură dreaptă cu deosebirea că, în plus, apare factorul Y_β şi cosβ la numitorul fracţiilor.