ARD. ARBORI ŞI OSII

ARD-T. CONSTRUCŢIA ŞI MODELAREA ARBORILOR ŞI OSIILOR

            CUPRINS

               ARD-T.1 DEFINIRE

                     ARD-T.2 STRUCTURA CONSTRUCTIVĂ

               ARD-T.3 DOMENII DE UTILIZARE

               ARD-T.4 CLASIFICARE

               ARD-T.5 MATERIALE ŞI TEHNOLOGII  

               ARD-T.6 FORME ŞI CAUZE DE SCOATERE DIN UZ SAU DE COMPORTARE NECORESPUNZĂTORE

               ARD-T.7 PARMETRII FUNCŢIONALI ŞI CONSTRUCTIVI

               ARD-T.8 MODELE DE CALCUL A ARBORILOR DREPŢI

                               ARD-T.8.1 Modele de calcul a forţelor şi eforturilor

                                                  ARD-T.8.1.1 Model de calcul a forţelor şi eforturilor unui arbore intermediar al unui reductor cilindric de turaţie

                               ARD-T.8.2 Modele de calcul a tensiunilor

                                                 ARD-T.8.2.1 Model de calcul a tensiunilor din arborele intermediar al unui reductor cilindric de  turaţie

                               ARD-T.8.3 Modele de calcul a deformaţiilor

                                                  ARD-T.8.3.1 Model de calcul a deformaţiilor de încovoiere (flexionale)

                                                  ARD-T.8.3.2 Model de calcul a deformaţiilor de torsiune (torsionale)

                               ARD-T.8.4 Modele de calcul la solicitări variabile (oboseală)

                               ARD-T.8.5 Modele de calcul la vibraţii

                                                  ARD-T.8.5.1 Model de calcul a la vibraţii transversale (flexionale)

                                                  ARD-T.8.5.2 Model de calcul a la vibraţii torsionale

               ARD-T.9 MODELE DE CALCUL A OSIILOR

 

ARD-T.1 DEFINIRE

 

Arborii drepţi sunt elemente de maşini cu mişcare de rotaţie destinate susţinerii altor elemente de maşini (roţi dinţate, roţi de curea, semicuplaje, volanţi  etc.) şi transmiterii  momentelor de torsiune, care, la rândul lor, se sprijină prin intermediul lagărelor (cu alunecare sau cu rostogolire) pe structuri, de obicei, fixe (şasiuri, batiuri, carcase etc.).

Osiile  sunt organe de maşini în mişcare de rotaţie sau fixe, destinate susţinerii altor organe de maşini cu mişcare de rotaţie (nu transmit momente de torsiune).

 

ARD-T.2 STRUCTURĂ CONSTRUCTIVĂ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     a

                    b

 c

 d

e 

f 

 g

 Fig. ARD-T.3.1 Tipuri de arbori şi osii: a – arbori drepţi; b - arbori cotiţi;  c, d, e,  - arbori flexibili;  f - osie rotitoare (pentru vagon de cale ferată); g - osie fixă (pentru scripete)

 Obs.   

a.   Arborii cotiţi au două sau mai multe fusuri paliere, dispuse pe lungimea arborelui, pentru a asigura o rigiditate mare construcţiei şi unul sau mai multe fusuri manetoane, de legătură cu biela (bielele mecanismului motorului); arborii cotiţi pot fi prevăzuţi cu contragreutăţi, pentru echilibrarea statică şi dinamică.

b. Arborii flexibili au axa geometrică cu forme variabilă în timp; sunt confecţionaţi din straturi de sârmă, înfăşurate strâns şi în sensuri diferite, sensul de înfăşurare al ultimului strat fiind invers sensului de rotaţie al arborelui, pentru a realiza, în timpul transmiterii mişcării, strângerea straturilor interioare de către stratul exterior (ARD-T.3.1, c); pentru protecţia arborelui împotriva deteriorării şi a murdăriei şi pentru menţinerea unsorii consistente între spire, arborele flexibil se introduce într-o manta metalică (ARD-T.3.1, d) sau executată din ţesătură cauciucată (ARD-T.3.1, e); arborele flexibil se racordează la elementele între care se transmite mişcarea cu ajutorul armăturilor de capăt.

 

Fig. ARD-T.2.1 Structura constructivă generală a arborilor drepţi

 

ARD-T.3 DOMENII DE UTILIZARE

 

Arborii sunt utilizaţi în transmisiile automobilelor, tractoarelor, maşinilor agricole, utilajelor tehnologice, maşinilor unelte, toate transmisiile cu angrenaje, reductoarele de turaţii etc.

Arborii cotiţi  se folosesc în construcţia mecanismelor de tip bielă-manivelă, pentru transformarea mişcării de translaţie în mişcare de rotaţie (la motoarele cu ardere internă) sau invers (la compresoare,  prese, maşini de forjat).

Arborii flexibili se folosesc pentru transmiterea momentelor de torsiune între subansamble care îşi schimbă poziţia relativă în timpul funcţionării.

 

ARD-T.4 CLASIFICARE

    

Tab. ARD-T.4.1 Clasificarea arborilor drepţi [Moldovean, 1998]

Criteriul

Tipul arborelui

Fig

Fig

                   a

b

Fig

Fig

                  c

              d

Fig. ARD-T.4.1 Forme principale ale arborilor drepţi: a - cu secţiune plină; b - în trepte; c - canelat; d - tubular

Variaţia secţiunii arborelui pe lungime

Cu secţiune constantă (lişi) (fig. ARD-T.4.1, a)

Cu secţiune variabilă, în trepte (fig. ARD-T.4.1,b)

Forma secţiunii transversale

Cu secţiune plină (fig. ARD-T.4.1, a,b,c)

Tubular (fig. ARD-T.4.1,d)

Rigiditatea (regimul de funcţionare)

Rigid

Elastic

Numărul reazemelor

Cu două reazeme

(static determinat)

Cu trei sau mai multe reazeme (static nedeterminat)

Poziţia axei geometrice

Orizontali

Înclinaţi

Verticali

 

ARD-T.5 MATERIALE ŞI TRATAMENTE TERMICE

 

 Pentru execuţia arborilor drepţi se utilizează frecvent, oţelurile: 

-    de uz general pentru construcţii (E295, E335, E360) care nu necesită tratament termic, pentru cazuri cu sarcini reduse;

-    carbon de calitate de îmbunătăţire (C 45, C55 etc.) şi oţeluri aliate de îmbunătăţire (40 Cr 10, 41 CrNi 12 etc.), pentru sarcini şi durate medii de funcţionare;

-    carbon de calitate de cementare (C 15, C 20 etc.) şi aliate de cementare (13 CrNi 30 ), pentru sarcini puternice şi turaţii înalte.

Fontele sunt utilizate pentru execuţia arborilor de dimensiuni mari deoarece sunt mai puţin sensibile la efectul concentratorilor de tensiuni şi amortizează mai bine vibraţiile.

Tratamentele termice sau termochimice aplicate depind de materialul din care se execută arborii, putând fi: îmbunătăţire sau îmbunătăţire şi călire superficială a fusurilor, canelurilor, porţiunilor de calare etc.; cementare urmată de călire a fusurilor, porţiunilor de calare şi a canelurilor; nitrurare etc.

 

 ARD-T.6 FORME ŞI CAUZE DE SCOATERE DIN UZ SAU DE COMPORTARE NECORESPUNZĂTOARE

 

Tab. ARD-T.6.1 Forme şi cauze de scoatere din uz sau de comportare necorespunzătoare [Moldovean, 1998]

Tipul cedării

Forme

Apariţie

Cauze

Manifestare

Evitare

Scoatere din uz

Deformarea plastică

Arbori din materiale moi puternic solicitaţi

Depăşirea limitei de curgere a materialului

Modificarea permanentă a formei axei geometrice urmată de deteriorarea elementelor adiacente (rulmenţi, roţi dinţate; fig. ARD-T.6.1, a)

Calcul de verificare la deformaţii flexionale; protecţie la  suprasarcini

Ruperea la suprasarcini

Arbori din materiale dure puternic solicitaţi

Depăşirea limitei de rupere a materialului

Ruperea arborelui  (fig. ARD-T.6.1, b)

Calcul de rezistenţă, protecţie la  suprasarcini

Ruperea la oboseală

Arbori încărcaţi cu sarcini variabile periodic

Depăşirea rezistenţei la oboseală

Ruperea arborelui  (fig. ARD-T.6.1, c)

Calculul la oboseală; soluţii constructive de creşterea rezistenţei la oboseală

Comportare necorespunzătoare

Deformaţii elastice flexionale şi/sau torsionale

Arbori puternic solicitaţi

Elasticitate mărită şi sarcini puternice

Săgeţi mărite la încovoiere şi torsiune care conduc la funcţionarea necorespunzătoare a angrenajelor şi lagărelor

Calculul de verificare la deformaţii flexionale/ torsionale; soluţii constructive de rigidizare

Vibraţii

Arbori cu turaţii mari 

Abateri tehnologice şi de montaj cu solicitări variabile

Vibraţii cu amplitudini mărite (rezonanţă) care conduc la funcţionarea necorespunzătoare a angrenajelor şi lagărelor 

Calculul la vibraţii (turaţia critică); soluţii constructive de rigidizare

Deformaţii termice

Arbori lungi ce lucrează în  medii cu temperaturi ridicate

Creşterea temperaturii

Alungirea tronsoanelor arborelui, fapt ce conduce la funcţionarea necorespunzătoare, mai ales, a rulmenţilor

Calculul termic, soluţii de compensare (neîmpiedicare) a deformaţiilor termice

 

                       

a

b

c

Fig. ARD-T.6.1 Forme de scoatere din uz a arborilor: a – deformare plastică; b- rupere la suprasarcini; c - rupere la oboseală

 

ARD-T.7 PARAMETRI FUNCŢIONALI ŞI CONSTRUCTIVI

 

Tab. ARD-T.7.1 Parametrii funcţionali şi constructivi principali

 

Fig. ARD-T.7.1  Schema parametrilor principali

Mt [Nmm] – momentul de torsiune transmis;

ω [rad/s] (n [rot/min]) – viteza unghiulară (turaţia), ω = π n/30, n=30 ω/π;

Mî [Nmm] – momentul de încovoiere;

Fr [N] – forţa radială;

Fa [N] – forţa axială;

f  [mm] – săgeata la încovoiere;

φ [grade] – rotirea la încovoiere;

θ [grade] – rotirea la torsiune (răsucire);

di , li  [mm] – diametrul, lungimea tronsonului i

 

ARD-T.8 MODELE DE CALCUL A ARBORILOR DREPŢI

 

ARD-T.8.1 Modele de calcul a forţelor şi eforturilor secţionale

 

Arborii drepţi au structuri spaţiale 3D care sunt încărcate extern cu sarcini distribuite şi variabile în timp.

Ipoteze simplificatoare:

-         arborii se consideră cu  structuri unidimensionale; 

-         forţele distribuite din zonele de interacţiune ale arborelui cu elementele adiacente (susţinute şi de susţinere) se consideră echivalente cu un sistem de forţe concentrate conform unor scheme de echivalare dependente de: tipul montajului, rigiditatea pieselor montate etc. (fer. ARD-P.1- angrenaje;  fer. ARD-P.2 – curele, lanţuri);

-         schematizarea reazemelor arborilor prin înlocuirea cu reazeme convenţionale (cu unul sau mai multe grade de libertate) ţine cont de tipul lagărului (cu alunecare, cu rostogolire), rigiditatea arborelui  în zona de susţinere (fer. ARD-P.3 - rulmenţi, fer. ARD-P.4 - lagăre cu alunecare).  

 

ARD-T.8.1.1 Model de calcul a forţelor şi eforturilor secţionale ale unui arbore intermediar al unui reductor cilindric de turaţie

 

Tab. ARD-T.8.1.1 Parametrii de calcul şi diagrame de eforturi [Manea, 1970]

 

Fig. ARD-T.8.1  Model de calcul a forţelor şi eforturilor secţionale ale arborelui intermediar

Modelare geometrică

Arborele se consideră, având la bază ipotezele simplificatoare de mai sus, o bara dreaptă, AB, cu secţiunea în trepte (fig. ARD-T.8.1)

 

Încărcare externă

Pinionul 1 (conducător): forţa normală din angrenajul treptei a II-a (v. subcap. AEV-T.7.2.2, forţe în angrenajul cu dantură înclinată) cu componentele: forţa tangenţială, Ft1; forţa radială, Fr1; forţa axială, Fa1.

Roata 2 (condusă): forţa normală din angrenajul treptei I cu componentele: forţa tangenţială, Ft2; forţa radială, Fr2; forţa axială, Fa2.

Reazemele A şi B

Bara asociată arborelui este rezemată în zona de montaj a rulmenţilor radiali în punctele A şi B în care se consideră, conform schemelor de rezemare simplificată din fer. ARD-P.4, reacţiunile RA şi, respectiv, RB – în plan transversal – şi FA şi, respectiv, FB – în direcţie axială.

 

Schema de încărcare a arborelui cu forţe concentrate (la nivelul axei)

Secţiunea 1: forţa tangenţială, Ft1; forţa radială, Fr1; forţa axială, Fa1; momentele de torsiune  şi de încovoiere:

,  .    (ARD-T.8.1)

 

Secţiunea 2: forţa tangenţială, Ft2; forţa radială, Fr2; forţa axială, Fa2 momentele de torsiune şi de încovoiere:

,  .    (ARD-T.8.2)

 

Diagramele de variaţie a eforturilor secţionale

Momentul de torsiune, Mt , este constant pe porţiunea 1-2.

 

Momentul de încovoiere, Mî, este variabil spaţial de-a lungul barei şi, pentru calculul clasic, în corelaţie cu sistemul de coordonate triortogonal drept asociat forțelor,  se reprezintă prin proiecţiile în planele perpendiculare, I şi II. Relaţia de calcul a momentului de încovoiere în secţiunea X este

 

,     (ARD-T.8.3)

 

în care,  este momentul de încovoiere în planul I şi,  - momentul de încovoiere în planul II.

 

Eforturile secţionale axiale, N, consecinţă a acţiunilor forţelor axiale din angrenaje au variaţie constantă de-a lungul tronsoanelor arborelui cu valori dependente şi de sensul de rotaţie (tab. ARD-T.8.1.2)

 

 

Tab. ARD-T.8.1.2 Eforturi secţionale axiale

Tronsonul

A-1

1-2

2-B

Reacţiunile axiale, FA,B

Sensul de rotaţie

Efortul secţional axial, N

Antiorar

Fa1

-

Fa2

FA= Fa1;  FB= Fa2

Orar

Fa2 - Fa1

Fa2

-

FA= Fa2 - Fa1;  FB= 0

Forţele tăietoare, au valori reduse şi se neglijează

 

ARD-T.8.2 Modele de calcul a tensiunilor

 

ARD-T.8.2.1 Model de calcul a tensiunilor din arborele intermediar al unui reductor cilindric de turaţie

Sub acţiunea forţelor prezentate mai sus în structura arborelui apar solicitări (tensiuni) de torsiune, încovoiere, compresiune şi forfecare (neglijabile), distribuite neuniform şi, datorită dependenţei valorilor încărcărilor de timp, variabile în timp [Moldovean, 1998; Catrina, 2002].

 

Tab. ARD-T.8.1.3 Relaţiile de calcul a tensiunilor din secţiunea transversală  X (fig. ARD-T.8.1)

Tipul tensiunii

Tensiuni simple

Tensiunea echivalentă (conform teoriei tensiunilor tangenţiale maxime)

Torsiune

Încovoiere

Compresiune/tracţiune

Relaţiile de calcul

  

 

 

(ARD-T.8.4)

 

 

 

(ARD-T.8.5)

 

 

 

 

(ARD-T.8.6)

 

 

 

   

(ARD-T.8.7)

Obs.

a.  Semnificaţiile parametrilor din relaţiile de calcul:   Mtx, Mîx şi Nx sunt momentul de torsiune, momentul de încovoiere şi, respectiv, forţa axială în secţiunea X (v. rel. ARD-T.8.1, ARD-T.8.2, ARD-T.3 şi tab. ARD-T.8.1.2); Wp, Wz şi A – modulul de rezistenţă polar, modulul de rezistenţă axial, şi, respectiv, aria secţiunii transversale în punctul X;  – diametrul secţiunii circulare X;  - factorul ciclurilor  de solicitare.

b.  Tensiunile de încovoiere şi de torsiune nu sunt constante în timp.  Deoarece, arborele este un element rotitor (fig. ARD-T.8.2) tensiunea de încovoiere este variabilă după un ciclu alternant simetric (fig. ARD-T.8.3,a). Pentru cazul rotirii arborelui într-un sens, variaţia tensiunii de torsiune, în funcţie de tipurile antrenării şi sarcinii de învins, se poate echivala cu un ciclu pulsator (fig. ARD-T.8.3,b) sau constant (fig. ARD-T.8.3,c).

c.   Ciclurile solicitărilor variabile se evidenţiază cu ajutorul factorului de asimetrie R (fer. ARD-F.1) dar, pentru calcule de proiectare, se marchează şi cu simbolurile: I , pentru ciclul constant (R=1); II, pentru ciclul pulsator (R=0); III, pentru ciclul alternant simetric (R=0).

d.  Factorul , din relaţia (ARD-T.8.7), echivalează tensiunile componente din punct de vedere al ciclurilor de variaţie (tensiunile variabile conform ciclurilor I şi II cu tensiuni variabile după ciclul III), se determină cu relaţiile:

 ,  pentru cazul momentului de torsiune constant;

 , pentru cazul momentului de torsiune pulsator.

Valorile orientative ale tensiunilor σaîI, σaîII, σaîIII corespunzătoare celor trei cicluri de variaţie caracteristice, asociate materialelor uzuale pentru arbori, sunt prezentate în fer. ARD-M.1

e.  În cazurile practice, pentru calculele de proiectare, se neglijează efectul eforturilor axiale (acesta fiind mult redus în raport cu al celorlalte eforturi) şi  în relaţia (ARD-T.8.7) se consideră  σcX = 0.

 

Relaţia tensiunii echivalente (ARD-T.8.7), neglijând tensiunea de compresiune (σcx=0) şi considerând Wp=2Wz, devine,

 ,                                               (ARD-T.8.8)

  unde MredX este numit momentul echivalent în secţiunea X.

 

Tab. ARD-T.8.1.4 Parametrii şi relaţiile de calcul

Tipul calculului

Verificare

Dimensionare

Sarcina capabilă

Relaţii de calcul

(ARD-T.8.9)

(ARD-T.8.10)

(ARD-T.8.11)

(ARD-T.8.12)

(ARD-T.8.13)

(ARD-T.8.14)

Obs. Deoarece relaţia tensiunilor compuse (ARD-T.8.8) este dependentă neliniar de Mî, Mt şi dx şi, deci, verificarea arborelui la solicitări compuse se face în mai multe secţiuni transversale

a

b

c

Fig. ARD-T.8.2 Schematizarea variaţiei tensiunii de încovoiere în plan transversal

Fig. ARD-T.8.3 Ciclurile de variaţie a tensiunilor: a – alternant simetric (frecvent pentru încovoiere); b - pulsator (torsiune);

c – constant (torsiune)

 

ARD-T.8.3 Modele de calcul la deformaţii (rigiditate)

 

Sub acţiunea sarcinilor exterioare arborii sunt supuşi deformaţiilor de încovoiere (flexionale) şi de torsiune (torsionale).

 

ARD-T.8.3.1 Model de calcul a deformaţiilor de încovoiere (flexionale)

 

 

a

  

                 b                               c

Fig. ARD-T.8.4 Angrenajul real cu deformaţii elastice: a – schema deformaţiilor (săgeţi δ şi rotiri φ); b - pata de contact în cazul arborilor rigizi (ideal); c – pata de contact în cazul arborilor elastici

 Scop, particularităţi de calcul şi limite

Calculul deformaţiilor flexionale, în general, se efectuează în scopul preîntâmpinării funcţionărilor necorespunzătoare (cu vibraţii transversale şi zgomote) ale elementelor susţinute (în special, roţi dinţate) şi a lagărelor (fig. ARD-T.8.4).

Calculul la deformaţii de încovoiere (de verificare) constă în determinarea valorilor săgeţilor sub organele susţinute (roţi dinţate) şi a deformaţiilor unghiulare (rotirilor) din lagăre şi limitarea acestora la valori admisibile (δ  ≤  δa, φ ≤  φa ). Valorile admisibile ale deformaţiilor de încovoiere, recomandate în literatura de specialitate, sunt: pentru săgeţile de sub roţile dinţate montate pe arbore δa ≤ (0,01 ... 0,03)m, m fiind modulul angrenajului, în mm; pentru deformaţiile unghiulare, în radiani: φa ≤ 8.10-3 – pentru lagăre cu rulmenţi radiali cu bile; φa  ≤ 2,5.10-3 – pentru lagăre cu rulmenţi radiali cu role cilindrice; φa ≤ 1,7.10-3 – pentru lagăre cu rulmenţi radial-axiali cu bile sau cu role conice; φa ≤ 5.10-2 – pentru lagăre cu rulmenţi radial oscilanţi cu bile sau cu role butoi pe două rînduri; φa  ≤ 10-3 – pentru lagăre cu alunecare.

Metodele de calcul a deformaţiilor flexionale pot fi analitice, cu precădere, studiate la Rezistenţa materialelor sau numerice implementate în pachetele performante actuale.  Pentru cazurile simple, în literatura de specialitate, se dau ecuaţiile fibrei medii deformate şi expresiile săgeţilor maxime. Actual calculul deformaţiilor se realizează cu pachete software performante (de ex. MDESIGN) care iau în considerare arborii cu formele şi dimensiuniile reale. Calculul clasic (manual) al deformaţiilor de încovoiere se face pe baza schemelor folosite la calculul la solicitări compuse (tab. ARD-T.8.1.3), deformaţia rezultantă obţinându-se prin însumarea vectorială a deformaţiilor din cele două plane perpendiculare de solicitare a arborelui de către forţele exterioare.

Dacă deformaţiile efective nu sunt mai mici decât cele recomandate în literatura de specialitate (nu sunt îndeplinite condiţiile de verificare), se măreşte rigiditatea arborelui la încovoiere, prin mărirea diametrului acestuia.

 

 

ARD-T.8.3.2 Model de calcul a deformaţiilor de torsionale (răsucire)

 

 

a

b

 

Fig. ARD-T.8.5 Scheme de calcul a deformaţiilor torsionale: a – arborelui în trepte; b - arborele cu secţiune constantă (echivalent)

 

 Scop, model de calcul şi limite

Scop. Calculul deformaţiilor torsionale (de răsucire), în general, se efectuează în scopul preîntâmpinării funcţionărilor necorespunzătoare (cu vibraţii torsionale şi zgomote) ale elementelor aflate pe fluxul de transmitere a mişcării şi momentului de torsiune (fig. ARD-T.8.5).

Ipoteze simplificatoare:

-  modelul real (fig. ARD-T.8.5,a) cu arborele în trepte (cu tronsoanele de diametru di şi lungime li, i = 1...n) se înlocuieşte cu un model echivalent (fig. ARD-T.8.5,b) cu secţiune constantă (cu diametrul de) şi lungimea le;

- diametrul de al arborelui  echivalent se consideră egal cu unul din diametrele tronsoanelor arborelui real (de ex. de = dj  cu j = 1, 2 sau n);

- lungimea le a arborelui  echivalent se determină din condiţiile egalităţilor rigidităţilor fiecărui tronson al arborelui real cu a celui echivalent,

      ,                                                                                                                      (ARD-T.8.3.2.1)

din care, ţinând cont că momentele de inerţie polare ale tronsoanelor i şi al tronsonului corespunzător arborelui echivalent Ipi= π /32 şi, respectiv, Ie= π /32, rezultă lungimea tronsonului echivalent,

       .                                                                                                                                  (ARD-T.8.3.2.2)

Lungimea arborelui echivalent se determină ca sumă a lungimilor tronsoanelor echivalente,

       .                                                                                                           (ARD-T.8.3.2.3)

Unghiul de răsucire (rotire axială) al arborelui echivalent şi deci al arborelui real în zona solicitată la torsiune se determină cu relaţia,

  [rad],                                                                                                        (ARD-T.8.3.2.4)

în care,  de = dj  [mm] cu j = 1, 2 sau n; Mt [Nmm] - momentul de torsiune; G [MPa] - modulul de elasticitate transversal al materialului;  li  (i = 1...n) [mm] - lungimile tronsoanelor arborelui real

Calculul de verificare la deformaţii de torsiune (răsucire) constă în determinarea valorilor unghiurilor de răsucire  (rotirilor axiale) ale arborelui şi limitarea acestora la valori admisibile (θ  ≤  θ a).

Valorile admisibile pentru unghiul de torsiune (răsucire), determinate de destinaţia arborelui, recomandate în literatura de specialitate, sunt:  θa ≤ (15 ... 25) 10-2 rad/m, pentru arborii diferenţialelor autovehiculelor (arborii planetari);  θa ≤ (40 ... 55) 10-4 rad/m, pentru arborii mecanismelor de deplasare ale podurilor rulante. În cazul arborilor scurţi  (reductoare de uz general, cutii de viteze etc.), în general, rigiditatea la torsiune nu are rol esenţial şi, ca urmare, nu este necesar calculul la deformaţii torsionale.

În cazul în care unghiurile efective de  torsiune (răsucire) depăşesc valorile recomandate în literatura de specialitate, se măreşte rigiditatea arborelui la torsiune, prin mărirea diametrelor şi/sau micşorarea lungimilor tronsoanelor acestuia.

 

ARD-T.8.4 Modele de calcul la solicitări variabile (oboseală)

 

 

a

b

 

 c

Fig. ARD-T.8.6 Scheme de calcul la oboseală a arborilor: a – schema ciclului de solicitare determinist (staţionar) b - curba durabilitate, σ-N (Wohler) în coordonate logaritmice; c – diagramele rezistenţelor la oboseală (ciclurilor limită, pentru R  = [-1, 1])

 

 Scop, particularităţi de calcul şi limite

Scop. Calculul la solicitări variabile (oboseală), în general, se efectuează în vederea preîntâmpinării ruperii arborilor, cu precădere, în zona concentratorilor de tensiune (fig. ARD-T.6.1).

Calculul obişnuit al arborilor la solicitări variabile este de verificare la solicitări (simple sau compuse) staţionare, de regulă, pentru durabilitate nelimitată (fig. ARD-T.8.6,b). Acest calcul se face pornind de la diagrama de durabilitate (a ciclurilor limită a materialului, fig. ARD-T.8.6,c) pentru care se elaborează o diagramă schematizată, simplificată (Sodeberg, Goodman, Serensen; fig. ARD-T.8.6,c), pe baza căreia se stabilesc relaţii de calcul pentru coeficientul de siguranţă, ca raportul dintre rezistenţa la oboseală a materialului (tensiunea maximă a ciclului limită, fig. ARD-T.8.6,c; v. Obs.,c) şi tensiunea maximă a ciclului de solicitări variabile (fig. ARD-T.8.6,a).

Condiţia rezistenţei la oboseală a arborilor drepţi în zonele care există concentratori de tensiuni (canale de pană, caneluri, salturi de diametre, găuri transversale, filet, ajustaje presate etc.; ARD-T.8.7), cu precădere, supuşi la solicitări compuse (torsiune şi încovoiere) este dată de relaţia,

c ≥ ca,                                                                                                                                  (ARD-T.8.4.1)

ce presupune calculul în zonele cu concentratori de tensiune (fig. ARD-T.8.7) a coeficientului de siguranţă global  

,                                                                                                                                                    (ARD-T.8.4.2)

care se determină în funcţie de coeficienţii de siguranţă parţiali (conform schematizării simplificată, Serensen),

                                                                                    (ARD-T.8.4.3)

unde,  σ-1, τ-1 sunt rezistenţa la oboseală pentru solicitarea de încovoiere, respectiv torsiune, pentru ciclul alternant simetric; τ0 – rezistenţa la oboseală pentru solicitarea de torsiune, pentru ciclul pulsator; τm – tensiunea medie a ciclului de solicitare la torsiune; σv, τv – amplitudinile ciclurilor de solicitare la încovoiere, respectiv la torsiune; βkσ, βκτ - coeficienţi efectivi de concentrare a tensiunilor în secţiunea considerată, corespunzători solicitării de încovoiere, respectiv de torsiune; εσ, ετ - coeficienţi dimensionali, corespunzători solicitării de încovoiere, respectiv de torsiune; γσ, γτ - coeficienţi de calitate a suprafeţei, corespunzători solicitării de încovoiere, respectiv de torsiune.

Pentru coeficientul de siguranţă admisibil, se recomandă valorile: ca = 1,3 ... 1,5 – pentru arbori executaţi din material omogen, cu tehnologie de execuţie corectă şi la care solicitările sunt precis stabilite; ca = 1,5 ... 2,5 – pentru arbori executaţi din material neomogen şi la care solicitările sunt stabilite cu aproximaţie.     

 Obs.  

a.     Ciclurile de solicitare deterministe (staţionare) descrise de funcţii periodice (frecvent, sinus) sunt caracterizate de următorii parametri caracteristici (fig. ARD-T.8.6,a) : tensiunea maximă, σmax;  tensiunea minimă, σmin;  tensiunea medie,  σm = (σmax + σmin)/2;   amplitudinea ciclului,  σa = (σmax - σmin)/2; coeficientul de asimetrie,  R = σmax/σmin.

b.    Stările funcţionale ale unui arbore din punct de vedere al rezistenţei la oboseală sunt (fig. ARD-T.8.6,b): cu durabilitate mică (durata de viaţă redusă,  N < 102…103); cu durabilitate (mare) limitată (102…103 < N < 106…107); cu durabilitate (mare) nelimitată (N > 106…107). 

c.    Ciclul de solicitare cu coeficientul de asimetrie R şi cu  tensiunea maximă σmax egală cu rezistenţa la oboseală a materialului (σ-1)  se numeşte ciclu limită. Efectul tensiunii medii se cuantifică cu diagrama rezistenţelor la oboseală sau curba ciclurilor limită (locul geometric al punctelor corespunzătoare ciclurilor limită) care evidenţiază variaţia rezistenţei la oboseală cu coeficientul de asimetrie, -1 < R < 1  (schematizarea Haigh, fig. ARD-T.8.6,c). În practică aceste diagrame permit determinarea rezistenţelor la oboseală  în funcţie de coeficienţii de asimetrie R (sau de σm şi σa). În fig. ARD-T.8.6,c se prezintă diagrama High pentru solicitarea de tracţiune în care se evidenţiază puncte corespunzătoare ciclurilor de solicitare: A – alternat simetric, B – pulsator, C – static, E – alternant/oscilant (-1 < R < 1).

c.  Coeficienţii βkσ, βκτ, γσ, γτ, εσ, ετ sunt coeficienţi de corecţie, care ţin seama de faptul că încercările la oboseală ale materialelor se fac pe epruvete standard care se execută fără concentratori de tensiuni şi ale căror dimensiuni şi prelucrări diferă de cele ale arborilor proiectaţi (fer. ARD-P.1). Coeficienţii βkσ, βκτ, se definesc ca raport între rezistenţa la oboseală a epruvetei lustruite, fără concentrator, şi rezistenţa la oboseală a epruvetei cu aceleaşi dimensiuni ca cea netedă dar prevăzută cu concentrator, pentru acelaşi ciclu de solicitare; valorile acestora se aleg din diagrame, în funcţie de tipul şi caracteristicile concentratorului (fer. ARD-P.1). Coeficienţii εσ şi ετ ţin seama de faptul că dimensiunile reale ale arborelui diferă de cele ale epruvetei, valorile acestora fiind date în diagrame şi sunt cuprinse în intervalul 1,4 ... 19 (fer. ARD-P.1). Coeficienţii γσ şi γτ se definesc ca raport între rezistenţa la oboseală a epruvetei cu suprafaţă rugoasă şi rezistenţa la oboseală a epruvetei cu suprafaţa lustruită (fer. ARD-P.1).

c.  În cazul în care într-o anumită secţiune condiţia impusă prin relaţia (ARD-T.8.4.1) nu este îndeplinită, se iau măsuri constructive pentru îndeplinirea ei prin introducerea de concentratori care induc tensiuni locale mult reduse (fig. ARD-T.8.6): trecere de secţiune (salturile de diametre, fig. ARD-T.8.6,a...l); canal de pană sau caneluri (fig. ARD-T.8.6,m,n,o); modificator al presiunii de capăt, din zonele de contact arbore – organe susţinute (fig. ARD-T.8.6,p...t); filet, se recomandă folosirea filetului la capete de arbori, unde momentele încovoietoare sunt reduse şi/sau folosirea filetelor cu pas fin.

 a

 b

 c

 d

 e

 

 

 

 

 

 f

g

 h

i

 j

 

 

 

 

 

 k

 l

 m

 n

 o

 

 

 

 

 

 p

 q

 r

 s

 t

Fig. ARD-T.8.7 Măsuri constructive pentru mărirea rezistenţei la oboseală: a – rază de racordare (în cazul când diferenţa între trepte este mică); b -  două raze de racordare diferite (în cazul arborilor foarte solicitaţi);  c - teşirea capătului treptei de diametru mare (pentru salturi mici de diametre);  d - teşirea capătului treptei de diametru mare, combinată cu racordare la treapta de diametru mic (pentru salturi mari de diametre); e - rază de racordare, combinată cu canal de descărcare pe treapta de diametru mare; f - rază de racordare, combinată cu executarea unei găuri pe treapta de diametru mare; g - canal de trecere scurt, executat la capătul treptei de diametru mic (la arbori de dimensiuni mici); h  - canal de trecere lung, executat la capătul treptei de diametru mic (la arbori de dimensiuni mari); i - degajare interioară, executată în treapta de diametru mare (în cazul abaterilor reduse de perpendicularitate);  j - canal de trecere combinat cu degajare interioară (soluţia asigură creşterea rezistenţei la oboseală, accesul pietrei de rectificat pe toată lungimea tronsonului de diametru mic şi un sprijin axial corect al organelor montate pe arbore); k - rază de racordare mare care necesită teşirea piesei conjugate;  l - folosirea de piese (inele) intermediare; m - caneluri (rezistenţă la oboseală mai mare decât în cazul canalelor de pană); n - canalele de pană cu capetele rotunjite (deoarece nu asigură rezistenţe la oboseală mărite se recomandă să se poziţioneze spre capetele arborilor); o - canale de pană cu capetele drepte (rezistenţă la oboseală mărită, se poziţionează în zonele centrale ale arborilor); p - îngroşarea porţiunii de calare; q - teşirea sau rotunjirea muchiilor butucului; r - configurarea roţii cu disc (pentru roţile cu diametre mari); s - executarea canalelor de descărcare în arbore;  t - executarea canalelor de descărcare în butuc

 

ARD-T.8.5 Modele de calcul la vibraţii

 

Scopul calculului la vibraţii este prevenirea ruperii arborelui din cauza eforturilor mult mărite care apar la intrarea subansamblului acestuia în rezonanţă. Calculul  constă în determinarea turaţiei critice a arborelui şi compararea acestuia cu turaţia de funcţionare.

Turaţia critică este turaţia la care arborele intră în rezonanţă ca urmare a situaţiei în care frecvenţa (pulsaţia) proprie coincide sau este multiplu al frecvenţei forţelor perturbatoare

Frecvenţa (pulsaţia) proprie este o caracteristică a unui sistem oscilant independentă de condiţiile iniţiale ale mişcării.

 

În funcţie de tipul forţelor perturbatoare se întâlnesc vibraţii flexionale (transversale, de încovoiere), torsionale şi/sau longitudinale (la arborii verticali unde apar sarcini axiale variabile).

 

ARD-T.8.5.1 Model de calcul la vibraţii transversale (flexionale)

 

Vibraţiile flexionale (transversale) sunt cauzate de erorile de execuţie şi montaj ale arborelui şi ale elementelor montate pe acesta, de neomogenităţile materialului şi de deformaţia elastică a acestuia sub acţiunea forţelor exterioare. 

 

 

 

 

a

 

 

b

 

c

 

             Fig. ARD-T.8.8 Model de calcul la vibraţii flexionale: a – cazul general cu n discuri; b - caz particular cu un disc simetric; c - regimurile de funcţionare

 

 Model de calcul la vibraţii flexionale

Ipoteze simplificatoare:

- subansamblul arbore se consideră compus din arbore cu masa neglijabilă şi n discuri  (roţi dinţate, roţi de curea, volanţi etc.) montate pe arbore care au masele mi, i = 1...n;

- din cauza erorilor de execuţie şi montaj şi a neomogenităţilor materialelor centrele de masă ale discurilor sunt excentrice  (fig. ARD-T.8.8, b) şi în timpul rotaţiei arborelui (n > 0) apar forţe centrifuge (de excitaţie) ce conduc la oscilaţii transversale;

-  fibra medie deformată (fig. ARD-T.8.8, a), în stare de repaus (n = 0), reprezintă limita extremă a deformaţiilor care iau naştere în timpul rotirii şi este determinată de săgeţile δi  produse de greutăţile,  Gi = mi g (g, acceleraţia gravitaţonală);

- considerând vibraţiile armonice, săgeţile transversale variază în timp conform relaţie, δti = δi sin ωt;

- vitezele de mişcare a centrelor discurilor, 

    

au valorile maxime, vi = ω δi.

Relaţii de calcul:

Din condiţia de egalare a energiei potenţiale maxime (corespunzătoare fibrei medii deformate extremă unde energia cinetică este nulă) cu energia cinetică maximă (corespunzătoare fibrei medii deformate mediane, linia AB, unde energia potenţială este nulă) a subansamblului arborelui,

          ,                                                                                                                                         (ARD-T.8.5.1)

considerând ipotezele simplificatoare, rezultă viteza unghiulară [rad/s]  (turaţia [rot/min]) critică (la care apare rezonanţa),

,                                                                                (ARD-T.8.5.2)

unde, mi [kg] sunt masele discurilor, g [mm/s2] - acceleraţia gravitaţională,  δi  [mm] - săgeţile arborelui în zonele discurilor.    

Pentru cazul particular,  al arborelui cu un singur disc (fig. ARD-T.8.8, b) montat simetric pe arbore, aceste relaţii devin,

 .                                                                                              (ARD-T.8.5.3)

Considerând, pentru acest caz, în relaţia de mai sus,

 ,                                                                                                                                     (ARD-T.8.5.4)

rezultă, relaţia turaţiei critice,

,                                                                                                                                                               (ARD-T.8.5.5)

unde, E [MPa] este modulul  de elasticitate longitudinală al materialului arborelui; Iz  [mm4] - momentul de inerţie axial al secţiunii arborelui; m  [kg]  - masa discului montat pe arbore; l  [mm] -  lungimea arborelui

 Regimurile de funcţionare:

a.     n/ncr < 1 (n < ncr),  regimul subcritic (fig. ARD-T.8.8,c), corespunzător arborilor rigizi;

b.    n/ncr  > 1 (n > ncr),  regimul supracritic (fig. ARD-T.8.8,c) corespunzător arborilor elastici (există tendinţa de autocentrare); se recomandă trecerea peste turaţia critică să se facă rapid şi/sau adoptarea de măsuri constructive de limitarea amplitudinilor vibraţiilor la rezonanţă.

Obs. Se recomandă evitarea domeniului  din zona de rezonanţă,  n/ncr = 0,85…1,25 în care creşterea deformaţiilor (săgeţilor) este foarte mare

 

ARD-T.8.5.2 Model de calcul a la vibraţii torsionale

 

ARD-T.9 MODELE DE CALCUL A OSIILOR

 

 

 

Fig. ARD-T.8.9 Schema de calcul a unei osii

 Particularităţi de calcul a osiilor

Sub acţiunea sarcinilor exterioare osiile, în majoritatea situaţiilor, sunt solicitate la încovoiere.

Din condiţia de rezistenţă la încovoiere,

       ,                                                                                                   (ARD-T.8.9.1)

se determină relaţia de dimensionare,

      ,                                                                                                               (ARD-T.8.9.2)

din care se determină diametrul osiei în zona mediană,

                                                                                                              (ARD-T.8.9.3)